시그마 K 제곱(^2)의 증명

 아이패드를 구입한 이후, 애플 펜슬의 활용도를 어떻게 높일 수 있을까 고민하다가 머리 굳는걸 방지하기 위해 증명을 하나 둘 씩 하기로 했다. 시그마 K의 증명은 이미 흔하기 때문에 시그마 K 제곱의 증명을 해봤다.

 

 시그마 K = n(n+1)/2 는 간단히 1~n까지 나열한 후 양쪽 끝부터 묶다보면 (n+1)이 n/2개 만큼인 것만 알면 증명이 쉬웠다. 

시그마 K^2=n(n+1)(2n+1)/6 은 어떨까? 증명의 아이디어를 쉽게 떠오르긴 힘들다. 만약 모의고사를 치고 있는 상황이라면 그냥 찍을 것인가? 아니다. 다른 쉬운 문제들을 빨리 풀고 돌아와서 증명을 해서라도 이 공식을 이용한 문제풀이를 해야한다.

고등학교 수준에서의 대부분 증명은 약간의 시간만(3~5분) 확보된다면 쉽게 가능할 것이다. 만약 내가 맞이한 문제가 4점 짜리이고 이 공식만 활용하면 문제가 풀릴 것 같다. 이 때, 미리 증명에 대해 공부해왔던 학생들은 차분히 증명하고 문제를 해결할 것이고 증명을 건너 뛰던 학생들은 기억나지 않는 공식을 머릿속에서 쥐어짜고 있을 확률이 높다. 그럼 증명은 어떻게 할까?

[시그마 K^2의 증명]

이 증명을 이미 해봤던 학생들 이라면, 간단히 2분정도면 바로 해결이 될것이다. 핵심은 (X+1)^3을 전개한 항에서 X3을 좌항으로 이항 후 문제풀이를 진행하는 것이다. 간단한 증명이라 누구나 해보면 어렵지 않을 것이다.

 

- 소고기를 사랑하는 수학자 드림 -